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Distributionen

Zunächst eine Anmerkung zum Begriff der Funktion. 

Eine Funktion f ist eine Vorschrift die bestimmten x-Werten (Definitionsbereich) y-Werte (Wertebereich) zuordnet. 

f(x) ist die Zahl die von der Funktion dem Wert x zugeordnet wird, also ein ganz bestimmter Zahlenwert. 

Eine Funktion kann monoton wachsend sein, ein Maximum haben, differenzierbar sein, umkehrbar sein, .... 
Ein bestimmter Funktionswert f(x) ist lediglich eine Zahl und diese Zahl ist nicht differenzierbar, nicht stetig, nicht monoton,.... Also müßte man zunächst Funktionen definieren. 


Diese Funktionen-Schreibweise ist unübersichtlich und so bleibt man lieber bei der unteren Schreibweise und behält im Kopf daß Funktionen f gemeint sind - schließlich weiß man daß Funktionswerte f(x) als Zahlenwerte nicht differenziert werden können.

Man kann sich besonders schöne Funktionen anschauen. Solche die 
∞   unendlich oft differenzierbar sind, 
k    die außerhalb eines endlichen Intervalles (a,b) überall 0 sind, 
+   die überall nichtnegativ sind und 
1    die den Flächeninhalt 1 haben:

Anschaulich ist es einleuchtend daß es solche Funktionen gibt. Aber in der Mathematik braucht man konkrete Beispiele:

Man kann nachprüfen daß diese Funktion außerhalb des Intervalles (-a,+a) immer 0 und überall nichtnegativ ist (per Definition), daß diese Funktion unendlich oft differenzierbar ist und einen Flächeninhalt besitzt. Multipliziert man diese Funktion mit dem Faktor 
1/Flächeninhalt
so hat man eine Beispiel-Funktion aus   Leichte Änderungen zeigen, daß es Beispiel-Funktionen gibt die an der Stelle 0 den Wert 0 haben und zwar für jedes noch so kleine Intervall. Oder solche die an der Stelle 0 einen beliebigen anderen Zahlenwert haben und zwar den gleichen Zahlenwert für jedes noch so kleine Intervall. Bei anderen Beispiel-Funktionen (x) gilt für x
0 daß (x)∞ läuft.
Natürlich kann man diese Funktionen in ein beliebiges Intervall (a,b) verschieben. Man nennt diese Funktionen auch Testfunktionen.


       

Verkleinert man das Intervall (-a,+a) immer mehr, a0 , so erhält man anschaulich eine "Funktion" die überall 0 ist mit Ausnahme der Stelle 0 und für die der Flächeninhalt 1 ist, da der Flächeninhalt jeder Funktion aus  immer 1 ist. In der Physik nennt man diese "Funktion" die Dirac-Delta-Funktion (x). Andererseits ist die Dirac-Delta-Funktion außerhalb eines einzigen Punktes immer 0 und damit eine Annäherung an die Funktion die generell überall 0 ist und die folglich den Flächeninhalt 0 hat. 
Wieder einmal hat man den "Beweis" daß 1=0 ist ? 
Man kann sogar noch weiter gehen und spekulieren, daß es auf dem Intervall (-a,+a) auch Testfunktionen  aus gibt die an der Stelle x=0 für jedes Intervall immer den Wert 7 oder den Wert 0 (oder jede beliebige positive Zahl) haben und folglich gilt 
(0)=7=0=jede beliebige positive Zahl oder
∞.

Die Problematik ist es den Begriff einer Funktion zu überprüfen und zu sagen was der Abstand zweier Funktionen sein soll, damit man davon sprechen kann daß sich Funktionen einander annähern. Dazu kann man sich zunächst an den Mittelwertsatz für stetige Funktionen erinnern: 

Gibt man einen x-Wert A vor so kann man für v>0 Intervalle (A-v,A+v) betrachten die in der folgenden Grafik grün markiert sind. 
Dann wählt man Testfunktionen die außerhalb dieser Intervalle 0 sind. Diese sind in der folgenden Grafik rechts symbolisiert. 
Dann existieren Zwischenwerte im Intervall [A-v,A+v] so daß die Berechnung mit der Testfunktion nahe an dem Funktionswert f(A) liegen. Der Bereich in dem sich die angenäherten Werte bewegen wurde rot markiert. Beispiele für berechnete angenäherte Funktionswerte wurden durch rote Kreuze markiert. 

Für v0 erhält man eine Folge von 
Zwischenwerten

und aufgrund der Stetigkeit der Funktion f gilt 
f(Zwischenwerten)
f(A).
Damit kann man die Zuordnung von x zu f(x) zurückbekommen. 
Es ist eine andere Art die Funktion zu beschreiben. 
Dies führt zu folgender Definition:

Es gibt hierbei keine Beziehung zwischen x und y mehr, sondern eine Beziehung zwischen Testfunktionen aus und y. Man bezeichnet dies als Distributionen und nicht als Funktionen, obwohl es vielleicht nur eine andere Beschreibung für das "Wesen der Funktion" ist. Und um die Verständlichkeit zu verbessern übernimmt man für die Distributionen auch die Schreibweise der Funktionen.

Mit Distributionen läßt sich die Dirac-Delta-Funktion (x) definieren. 

Gibt man einen x-Wert A0 vor so kann man für 0<v<|A|/2 Intervalle (A-v,A+v) betrachten. Dann wählt man Testfunktionen die außerhalb dieser Intervalle 0 sind. Für diese gilt stets (0)=0 insbesondere auch wenn v0. Daher besteht eine Verbindung von der Distribution (:(x):) zu der Funktion (x)  für die man weiß daß 
(x)=0 sofern x0. Es bleibt bei der Spekulation
(0)=7=0=jede beliebige positive Zahl oder
∞.
Das ist unerheblich denn die Distribution hat als Definitionsbereich
und keine x-Werte. Für jedes Element des Definitionsbereiches ist die Distribution definiert. 

Für Distributionen läßt sich die Ableitung einfach über die Ableitung der Testfunktionen erklären:

Es sei hier angemerkt daß dieses Vorgehen doch nicht ganz so einfach ist. Würde man etwa als Raum der Testfunktionen wählen, also Testfunktionen mit Flächeninhalt 7 anstatt Flächeninhalt 1, so würde die dann aus f entstehende Distribution nach obiger Argumentation mit der Funktion 7f korrespondieren (andere Werte für den Flächeninhalt entsprechend). Also nimmt eine Sonderstellung ein. Bei der Definition der allgemeinen Ableitung wird aber -' verwendet die kein Element von mehr ist. Man müßte also den Raum der Testfunktionen erweitern (nichtnegativ und vorgegebener Flächeninhalt 1 müßten aufgegeben werden). Dann würde aber die Ableitung der Distribution nicht mehr mit der Ableitung der Funktion korrespondieren. Dazu müßte man nachträglich den Definitionsbereich wieder auf  einschränken. Vielleicht ist dies die Problematik der Renormierung bei den Physikern. 

Wir gehen hier einmal davon aus daß für aus der Ausdruck 
T(-') "sinnvoll berechnet werden kann".
Insbesondere ergibt sich daß jede Distribution beliebig oft differenzierbar ist. Ein Beispiel


Anschaulich kann man sagen daß an der Stelle x=0 die (x)-Funktion einen Nadelpeak hat der die Sprunghöhe der unstetigen Funktion herausfiltert. Ist der Multiplikationsfaktor positiv so liegt ein Sprung von links unten nach rechts oben vor, ist der Multiplikationsfaktor negativ so liegt ein Sprung von links oben nach rechts unten vor. Die erste Ableitung einer Distribution hat also eine ganz andere Bedeutung als die erste Ableitung einer Funktion die die Tangentensteigung bestimmt. Ist allerdings die Funktion differenzierbar so stimmt die Ableitung der Distribution mit der Ableitung der Funktion überein. 

Um übersichtlich arbeiten zu können werden einige Definitionen eingeführt. Man braucht rechtsseitigen und linksseitigen Funktionswert und eine an den Punkt a verschobene (x-a)-Funktion die den Nadelpeak an der Stelle x-a=0 hat. Dies erleichtert das Verständnis, denn sonst müßte man für jedes a eine eigene Distribution erklären (evtl. durch einen Index).

Damit läßt sich die Ableitung vieler (auch unstetiger) Funktionen im Sinne der Distributionen aufschreiben

Ein Beispiel 

Diese Funktion ist nicht stetig, aber im Sinne der Distributionen beliebig oft differenzierbar. Mit der Treppen-Funktion läßt sich die Funktion in einer Zeile aufschreiben - ein Intervall nach dem anderen

Innerhalb der Intervalle wird natürlich die Tangentensteigung beschrieben. 
Existiert f(a+) aber nicht, so definiert man die Distributionsableitung durch obigen Ausdruck indem man f(a+)=0 setzt. Entsprechend bei f(b-) . Da in diesen Fällen kein rechtseitiger bzw. linksseitiger Grenzwert existiert, gibt es kein sinnvolles Ergebnis und der "Problempunkt" wird ausgegrenzt. 
Es ist ähnlich wie bei dem Teilen durch 0 was auch verboten wird.
Damit kann man auch folgende Funktionen berücksichtigen.

       

Also
H(0,2)(x) sin(1/x)
H(-2,0)(x) 1/x  +  H(0,1)(x) 1/x

Berechnet man bei diesen Beispielen aber die Integrale über 
Funktion x Testfunktion 
so steht man vor der Problematik von divergenten Integralen.

Nun wurde der Begriff der Funktion anders gefaßt. Es stellt sich die Frage nach dem Abstand jetzt für Distributionen. Was bedeuted es zu sagen daß zwei Distributionen nahe sind. Was bedeuted es zu sagen daß sich eine Folge von Distributionen an eine andere Distribution annähert. Da die Distributionswerte reelle Zahlen sind kann man einfach auf den Abstand für reelle Zahlen zurückgreifen. 
Sei a>0 eine reelle Zahl und Ta eine Folge von Distributionen. Dann gilt für eine Distribution T





Damit hat man eine Folge von Funktionen (mit Flächeninhalt 1) die gegen die Dirac-Delta-Funktion konvergiert. Allerdings ist keines der Folgen-Elemente eine gerade Funktion, so daß es schwierig zu verstehen ist warum die Dirac-Delta-Funktion eine gerade Funktion sein soll. 

Auch ist jedes Folgen-Element in einem ganzen Intervall (-a,+a) identisch 0 . Daher ist es schwierig sich vorzustellen daß die Dirac-Delta-Funktion (die außerhalb Nullpunkt generell 0 ist) im Nullpunkt so stark gegen unendlich geht daß der Flächeninhalt bei 1 bleibt. Solche Vorstellungen sind nur bedingt hilfreich. Der Definitionsbereich der Dirac-Delta-Distribution besteht eben nicht aus x-Werten sondern aus Testfunktionen.

Leichte Änderung

 

Damit hat man eine Folge von Funktionen von denen keines der Folgen-Elemente den Flächeninhalt 1 hat (für a<1/12 wird der Flächeninhalt positiv), die aber den Flächeninhalt 1 immer mehr annähern. Jedes Folgen-Element ist in einem ganzen Intervall (-a,+a) identisch -3 . 

Leichte Änderung 

 

Damit hat man eine Folge von Funktionen deren Negativwert im 0-Punkt über alle Grenzen anwächst für a -> 0 . 

Dies kann man schnell erweitern.
Sei u eine stetige Funktion mit u(x)>0 für jedes reelle x.

 

Damit ist u(x) auf jedem Intervall integrierbar mit endlichem Flächeninhalt. Und mit der Treppenfunktion kann man einfach Funktionenfolgen ausschneiden 
mit Flächeninhalt 1.

 

Und natürlich kann man noch weitaus mehr Folgen finden die gegen die Dirac-Delta-Funktion konvergieren - im Sinne der Distributionen. 

Nun kann man sich vorstellen daß die Dirac-Delta-Funktion sich räumlich verändert wenn man ein Zeitintervall betrachtet. Dann gibt es einen Zeitparameter t und eine zeitabhängige Dirac-Delta-Funktion 
(x-f(t))
Ist die Funktion f stetig so ist auch die Raumverschiebung der zeitabhängigen Dirac-Delta-Funktion "stetig", denn für a -> 0
(:(x-f(t+a)):)(
)=(f(t+a)) -> (f(t))=(:(x-f(t)):)()
Die Testfunktionen geben die Eigenschaften der Funktion f an die Distribution weiter. Damit kann man auch die Ableitung nach dem Zeitparameter aufschreiben.

 

 

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